Доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180°

28.06.2025 в 23:25

Теорема о сумме углов треугольника является фундаментальным положением евклидовой геометрии. Приведем несколько способов доказательства этого утверждения.

Доказательство через параллельные прямые

1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC
2. Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC
3. Углы DBA и BAC равны как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AC и секущей AB
4. Углы EBC и BCA равны как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей BC
5. Углы DBA, ABC и EBC образуют развернутый угол, равный 180°
6. Следовательно, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

Графическое доказательство

Доказательство с использованием теоремы о внешнем угле

• В любом треугольнике внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
• Рассмотрим треугольник ABC и продолжим сторону BC до точки D
• Внешний угол ACD равен сумме углов BAC и ABC
• Но углы ACD и ACB смежные, их сумма равна 180°
• Следовательно, ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

Доказательство для прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

• Один угол всегда равен 90°
• Сумма двух острых углов также равна 90° (так как 180° - 90° = 90°)
• Таким образом, общая сумма углов: 90° + острый угол 1 + острый угол 2 = 180°

Важные следствия из теоремы

Представленные доказательства подтверждают, что сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда равна 180 градусам. Это свойство является характерной особенностью плоских треугольников и используется во многих геометрических теоремах и задачах.